Remi Chapeaublanc | Photographer

Principe des tiroirs

Le principe des tiroirs ou principe des tiroirs de Dirichlet-Schläfli appelé aussi le principe des boîtes ou encore le principe du trou de pigeon, déclare que si n chaussettes occupent m tiroirs, et si n > m, alors au moins un tiroir doit contenir strictement plus d’une chaussette.

Une autre formulation serait que m tiroirs ne peuvent contenir strictement plus de m chaussettes avec une seule chaussette par tiroir; ajouter une autre chaussette obligera à réutiliser un des tiroirs. La première version du principe fut énoncée par Dirichlet en 1834 sous le nom de Schubfachprinzip (« principe du tiroir »), suite à une observation de ses chaussettes dans sa commode. Dans certains pays comme la Russie, ce principe s’appelle le principe de Dirichlet.

Bien que le principe des tiroirs semble être une observation insignifiante, il peut être employé pour démontrer des résultats inattendus. Par exemple, il doit y avoir au moins deux personnes à Dallas au Texas avec le même nombre de cheveux sur leur tête. Démonstration: une tête normale a environ 150 000 cheveux et il est raisonnable de supposer que personne n’a plus de 1 000 000 de cheveux sur la tête. Il y a plus de 1 000 000 personnes à Dallas. Si nous associons à chaque nombre de cheveux sur une tête un tiroir, et si nous plaçons chaque habitant de Dallas dans le tiroir correspondant à son nombre de cheveux sur la tête, alors d’après le principe des tiroirs, il y a nécessairement au moins deux personnes ayant exactement le même nombre de cheveux sur la tête à Dallas !

e principe des tiroirs est un exemple d’argument de dénombrement. Ce principe peut être appliqué à de nombreux problèmes sérieux, y compris ceux qui impliquent des ensembles infinis qui ne peuvent pas être mis en correspondance univoque. En approximation diophantienne, l’application quantitative du principe montre l’existence de solutions entières d’un système d’équations linéaires et ce résultat porte le nom de lemme de Siegel.

Principe des tiroirs

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